数学史(12):阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线

热点动漫 2020-08-02102未知admin

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  模仿只会仿制他所见到的事物,而想象则能创造他所没有见过的事物。——阿波罗尼奥斯

  古典希腊的另一位伟大数学家是阿波罗尼奥斯(Apollonius,约公元前262年~190年),生于小亚细亚西北部的佩尔加(Perga,今属土耳其安纳托利亚)。他青年时代曾经到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习,后来到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国,也到过以弗所(Ephesus),嗣后卜居亚历山大城和当地的数学家合作研究。在当时及后世,他都以“大几何学家”和天文学家闻名。

  阿波罗尼奥斯在晚年总结自己的一生所学,撰写了几何学经典巨著《圆锥曲线》,写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的:先设立若干定义,再由此依次证明各个命题,推理十分严格。尽管在他之前已有人研究圆锥曲线,但阿波罗尼奥斯做了去粗取精和系统化的工作,另有非常独到的创见,而且写得巧妙、灵活。

  《圆锥曲线》前四卷是基础部分,后四卷是拓广的内容,其中八卷已失传,共含487个命题。

  阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个(正的或斜的)圆锥的界面来研究圆锥曲线理论的人,也是第一个发现双曲线有两支的人。

  如上图,给定一个圆直径BC,以及该圆所在平面外的一个点A。过A点且沿圆周的一根直线便生成一对锥面。直径BC圆叫该圆锥的底。圆锥的轴(未画出)若垂直于底,这就是正圆锥(直角圆锥),否则就是斜圆锥(锐角圆锥和钝角圆锥)。设圆锥的一个截面与底平面相交于直线DE,该直线和底圆直径BC相互垂直。于是,三角形ABC就是一个包含了圆锥轴的三角形,也因此被称作为“圆锥轴三角形”。该三角形和“圆锥曲线”相交于两点P,P`。`连接线是该“圆锥曲线”的一条直径;Q点和Q`点的连接线是该“圆锥曲线”的一条弦,且和直线DE平行。因此,连线QQ`和连线`虽然相交于V点,但是未必和连线`垂直。阿波罗尼随即证明了QQ`被`所平分,从而VQ=1/2QQ`。

  对于椭圆和双曲线,选取的L点必须满足如下条件:PL/`=BF·FC/AF²。

  对于抛物线,选取的L点必须满足如下条件:PL/PA=BC²/BA·AC。

  阿波罗尼又作出了一些辅助线,最终证明了:对于椭圆和双曲线有QV²=PV·VR;对于抛物线有QV²=PV·PL。

  对于面上的任意曲线,从曲线上画出一条直线,使之平分所有与这曲线相连且平行于某一直线的直线,这条直线为直径(下图左的AB)。两条作为直径的直线中,如果每一条都平分与另一条相平行的直线,称它们为一条曲线或两条曲线的共轭直径(AB和DE)。下图右是双曲线的情形。

  切线是与圆锥曲线只有一个公共点且全部在圆锥曲线之外的直线。设`是抛物线的一直径(如下图),而QV是它的一根相应弦。于是若在直径延长到曲线外的那部分上取一点T使TP=PV,而V则是该直径与其相应弦QQ`的交点,则直线TQ与抛物线切于Q。对椭圆和双曲线还指出若给定的某些数据(如直径、正焦弦、纵坐标线与直径的夹角),可先作出有关的圆锥后获得所需的圆锥曲线:双曲线渐近线的作法和性质;怎么做出直径,中心、轴和切线。

  若T是圆锥曲线外一点(下图),TQ与TQ`是圆锥曲线上在Q和Q`处的切线,V是弦QQ`的重点,则TV是直径。另一求直径的方法是连接平行弦的中点。

  如下图,设有一圆锥极线AB,AC和CB是切线,连接AB,作直线CDEF穿过极线,则:CF:CD=EF:ED。C、D、E、F是一组调和点。

  卷4:极点与极线的其它性质;各种的圆锥曲线可能有的交点数目(两圆锥曲线至多相交于四点)

  卷5:从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线;法线的性质与作法;渐屈线(从轨迹两侧的点能作不同数目法线:全等圆锥曲线、相似圆锥曲线:有心圆锥曲线两共轭直径的性质

  《圆锥曲线》被为古典希腊几何的登峰造极之作,直到17世纪笛卡尔、帕斯卡之前,后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。

  3.《论接触》(On contacts)——由韦达整理,该书中含有著名的阿波罗尼奥斯问题:任给三点、三线或三圆,或三者的任意组合,求作一圆过给定的点并切于所给直线或圆。韦达、牛顿都给出过这个问题的解。

  至此,古典希腊时期的数学史告一段落,相较具体数学内容更重要的是:它创造了我们今天所理解的那种数学。

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